Grèce Antique 1/4 : Mathématiques et géométrie

Par Rachel Deyts

Les travaux des mathématiciens de la Grèce antique ne nous sont guère connus avant Platon, Aristote, puis Euclide. Mis à part quelques fragments des présocratiques, c’est surtout par une œuvre de compilation, élaborée par des commentateurs tardifs (comme Proclus, au Ve siècle de notre ère) que nous sont connus leurs travaux, transmis ensuite par le biais des savants latins et surtout arabes.

L’origine du mot « mathématique », c’est le grec mathemata, « choses étudiées ». Les sciences sont étudiées, transmises et enseignées par les philosophes, dans des centres tels que l’Académie de Platon ; l’esprit scientifique de l’époque se diffuse tout autour du bassin méditerranéen (de Milet en Asie Mineure à Crotone en Italie), puis se concentre principalement dans de grands pôles intellectuels, autour d’Athènes au IVe siècle, puis à Alexandrie principalement.

Si la géométrie semble avoir été la première à apparaître – car la plus concrète –, l’arithmétique ne tarde pas à suivre à partir du moment où l’on reconnaît au nombre, avec Pythagore, une valeur scientifique propre, et où les mathématiques deviennent une science abstraite. Mathématique et géométrie sont, à partir de ce moment, indiscutablement liées, puisqu’il s’agit de la science principale aux yeux des philosophes.

 

 1. Naissance de la science grecque

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Thalès

Selon les Anciens (et en particulier Hérodote), c’est Thalès de Milet (625 – 547 av. J.C. env.) qui aurait rapporté la géométrie d’Égypte. La géométrie est alors une science pratique : elle sert aux arpenteurs du cadastre égyptien à redélimiter le bornage des terrains après les crues du Nil. De même, Thalès ne considère pas la géométrie comme une science abstraite : c’est la nature qui est objet de science. Le philosophe, rapporte la légende, aurait trouvé un moyen de calculer les distances en mer. Quant au fameux théorème de Thalès, servant à calculer les côtés d’un triangle, il se base sur l’observation des distances, de la hauteur d’un homme par rapport à une pyramide, de la comparaison entre les longueurs des ombres.

 

 

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Cependant, le mathématicien le plus connu de l’Antiquité est probablement Pythagore (570 – 480 av. J.C. env.), grâce au fameux « théorème de Pythagore ».
Les Pythagoriciens travaillent sur les nombres et l’arithmétique. L’enseignement de Pythagore est en fait peu connu : on ne sait pas vraiment ce qui est de lui ou de ses disciples. On peut établir une différence entre l’arithmétique, science fondamentale, et ce qu’on peut appeler arithmologie, manière plus mystique d’aborder les nombres. Arithmétique, géométrie, musique et astronomie forment un tout régi par la proportion et l’harmonie. Les principales recherches des Pythagoriciens se font sur le rapport entre une note musicale et

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une longueur de corde ou de colonne d’air (si cette corde ou colonne d’air est réduite de moitié, on obtient une note un octave au-dessus) ; sur les intervalles ; sur les nombres amiables (chacun est égal à la somme des facteurs de l’autre, par ex. 220 et 284) ; sur les nombres « irrationnels » (comme √2) ; sur les cinq volumes réguliers (cube, tétraèdre, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) qui fournissent une base à l’architecture. Mais les mathématiques pythagoriciennes peuvent également prendre un versant plus mystique, et surtout dans l’étude des nombres figurés, ceux dont la représentation par des billes forme une figure géométrique : quatre points forment un carré. Le cas le plus frappant est celui de la « tétractys » : 10 = 1+2+3+4, et ces quatre nombres ensemble forment une pyramide.

Enfin, les nombres ont pour les Pythagoriciens une valeur symbolique : 3, le premier parfait, 5, la représentation de la justice, 7, le nombre d’Athéna…

 

Quant aux philosophes de l’école d’Elée à la fin du VIe siècle, Xénophane de Colophon, Parménide, Zénon, ils abordent les mathématiques selon le principe de l’Unité. Les nombres ne sont pas, comme nous le pensons aujourd’hui, une addition d’unités, mais la division de l’Unité primordiale ; l’univers doit être pensé comme un tout, un « continuum », et les paradoxes de Zénon (une flèche qui ne peut atteindre son but, Achille ne parvenant pas à dépasser une tortue) prouvent que l’incommensurabilité ne peut être résolue par un nombre infini de très petites unités.

 

 2. L’essor des mathématiques au Ve siècle

C’est à ce moment que commence, avec Hippocrate de Chios, un long travail d’édification de propositions qui trouvera son apogée au IIIe siècle avec Euclide et ses Eléments. C’est Hippocrate qui énonce les « trois problèmes classiques » : la quadrature du cercle (construction d’un carré de surface égale à un cercle donné), trisectin de l’angle (méthode pour diviser un angle en trois parts égales), duplication du cube (construction d’un cube de volume double de celui d’un cube donné).

Les Atomistes d’Abdère mettent au point le premier algorithme infinitésimal.

Les Sophistes, quant à eux, abordent la question d’un point de vue différent. Protagoras (Antilogies) perçoit les mathématiques comme un art (« technè ») contradictoire : le tracé des figures contredit bien souvent la géométrie (une tangente ne doit toucher un cercle qu’en un seul point, mais ce n’est pas le cas si on le dessine, remarque qui préfigure la théorie leibnizienne des petites perceptions). Pourtant, tracé concret et définition abstraite sont l’un et l’autre indispensables…

 

 3. Les mathématiques, science abstraite

« Nul n’entre ici s’il n’est géomètre… »

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Platon
détail de « L’Ecole d’Athènes », Raphaël.

C’est au IVe siècle que l’école athénienne connaît sa pleine expansion, principalement autour de l’Académie de Platon et du Lycée d’Aristote. Le Théétète du premier et le livre M de la Métaphysique du second montrent l’intérêt porté aux questions mathématiques.
Pour Platon, les mathématiques doivent faire partie des études supérieures, d’abord pour leur intérêt en soi, mais aussi parce qu’elles forment l’esprit. L’Académie fondée au cœur d’Athènes exprime ce principe, grâce à la devise gravée au fronton de l’école : « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». Les mathématiques, calcul et arithmétique, forment la base de la connaissance avec la dialectique (Philèbe). Platon reprend les études pythagoriciennes sur les intervalles musicaux, les nombres figurés, les cinq solides réguliers. On est loin du temps de Thalès où les mathématiques et la géométrie servaient à la réalité concrète : une forme géométrique est étudiée en tant « qu’objet mathématique », la géométrie devient l’étude des formes idéales. La géométrie et les mathématiques fascinent Platon en ce qu’elles appliquent la méthode déductive de raisonnement (contrairement à la plupart des sciences qui utilisent l’induction, à savoir l’établissement de lois générales à partir de l’observation de cas particuliers). Méthode platonicienne s’il en est…

 

Aristote ne s’intéresse pas autant que Platon aux mathématiques en tant que telles. Il est cependant à l’origine de bases fondamentales. Aristote démontre que toute science doit être fondée sur des principes fondamentaux : en mathématiques, les notions de base telles que le pair et l’impair, le carré et le cube… C’est donc un travail logique qui s’effectue. Enfin, c’est à Aristote qu’on doit l’idée selon laquelle la recherche désintéressée a un but supérieur. Les mathématiques ne naissent pas d’un besoin concret mais du loisir studieux : « Ainsi l’Égypte a-t-elle été le berceau des arts mathématiques, car on y laissait de grands loisirs à la classe sacerdotale. » (Métaphysique).

A la même époque, à Cyzique, Eudoxe de Cnide met au point la façon formelle (dite « euclidienne ») de présenter théorèmes et axiomes. Ses études portent également sur les proportions de la section d’or, la méthode de l’exhaustion (pour calculer le volume des corps solides). C’est donc à cette époque, et non chez Euclide qu’on le croit généralement, que les mathématiques s’édifient en véritable science axiomatique, formée de propositions et de théorèmes. A ce moment se fonde la méthode occidentale de réflexion scientifique.

 

 4. L’apogée scientifique

A partir du IVe siècle, c’est à Alexandrie que se forme le plus important groupe intellectuel. La ville fondée par Alexandre est dès l’abord destinée à devenir une capitale intellectuelle, objectif atteint avec la création de la Bibliothèque par . Les mathématiciens y sont nombreux, du IVe siècle av. notre ère au IVe siècle de notre ère. Apollonios de Pergé étudie les sections coniques et la valeur de π. Hipparque (IIe siècle av. J.C.) se penche sur la trigonométrie, Pappus (IIe s. de notre ère) sur la géométrie, Diophante (IVe s. de notre ère) sur l’arithmétique et ce qu’on pourrait appeler algèbre – si ce n’était anachronique. Les progrès des mathématiques profitent également à l’astronomie : Eratosthène de Cyrène mesure la longueur du méridien terrestre grâce à l’angle formé par les rayons du soleil sur Syène et Alexandrie, placées sur le même méridien, et la distance entre ces deux cités ; Aristarque de Samos détermine la taille du Soleil et de la Lune, leur distance à la terre, et affirme que le Soleil est immobile et que la Terre gravite autour.

Une des figures les plus remarquables de l’époque est Euclide, dont le livre Les Eléments posent les fondements de la géométrie classique. Le premier livre de l’ouvrage contient 23 définitions d’objets géométriques. Son étude porte également sur les nombres pairs et impairs, les nombres premiers, les puissances entières des fractions, les magnitudes géométriques, l’« algorithme d’Euclide », appelé en grec anthyphairesis ou antanairésis (« soustraction réciproque »). Euclide organise à la fois les recherches antérieures et les siennes et fonde une méthode systématique dans laquelle des suites de propositions se forment à partir de principes premiers. Chaque proposition ou postulat découle de ceux précédemment démontrés, et chaque proposition, même la moins importante, est indispensable au déroulement de la démonstration : « Il n’y a pas de voie royale vers la géométrie », aurait-il dit.

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Archimède

Enfin, Archimède (qui, lui, n’est pas d’Alexandrie mais de Syracuse) représente la figure même du savant antique, faisant même l’objet d’une véritable légende (« Eurêka », « Donnez-moi un levier et je soulèverai le monde »…), surtout d’ailleurs dans le domaine des sciences physiques. Mais il est également l’un des plus grands mathématiciens grecs : en témoignent le théorème d’Archimède sur la quadrature de la parabole, l’algorithme d’Archimède qui donne une approximation de π ; c’est lui qui étend la numérotation grecque aux grands nombres. La pierre tombale d’Archimède représente un de ses triomphes géométriques : un cylindre contenant une sphère qui lui est parfaitement ajustée. Elle était encore visible à l’époque de Cicéron.

Vis d’Archimède
Vis d’Archimède

 


Rachel Deyts
(élève 1ère année, 2006)