Le calcul à Rome sous la République et au début de l’Empire

Par Maud Marchand

 Quelques notions préliminaires : chiffres et monnaies

1. Les chiffres romains

Contrairement à l’idée reçue, les chiffres romains ne sont pas acronymiques : le symbole qui représente le chiffre n’est pas l’initiale du chiffre en question ; ainsi, C n’est pas l’abréviation de centum, ni M celle de mille. Ils proviendraient plutôt d’anciennes entailles dont les figures ont fini par être confondues avec des lettres. Les interprétations à ce sujet sont nombreuses et divergentes. D’autre part, de nombreuses variantes existent.

I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M ou ↀ 1000
V ou ↁ 5000
X ou ↂ 10 000
L ou LM 50 000
C ou CM 100 000
X 1 000 000
M 100 000 000

Un nombre écrit en chiffres romains se lit de gauche à droite : si un chiffre est plus grand ou égal à son successeur, on l’ajoute à la somme ; s’il est plus petit, on le soustrait. Ainsi, XXVI = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 ; XXIV = 10 + 10 + (5-1) = 44.

La langue latine confirme l’ancienneté du procédé soustractif : ainsi, dix-neuf se dit undeviginti (« un ôté de vingt ») et dix-huit duodeviginti (« deux ôté de vingt »).

Le système de numération romain est un système décimal où le zéro n’existait pas, ce qui rendait les calculs difficiles.

 

2. Les fractions

Les fractions, contrairement aux chiffres, relèvent d’un système duodécimal : l’unité (as) est divisée en 12 onces (unciae), notées par - ; « la moitié » se traduit par le mot semis, abrégé S.

D’après LAMBOLEY Jean-Luc, Lexique d’histoire et de civilisation romaine, Paris, Ellipses, 1995 :
AsOncesDénominationSigne numérique
1 12 as |
11/12 11 deunx S==-
5/6 10 decunx ou dextans S==
3/4 9 dodrans S=-
2/3 8 bes S=
7/12 7 septunx S=-
1/2 6 semis S-
5/12 5 quincunx S
1/3 4 triens ==
1/4 3 quadrans =-
1/6 2 sextans = ou z
1/8 1,5 sescuns Σ- ou £-
1/12 1 uncia (once) -
1/24 1/2 semuncia Σ ou £ ou ε
1/48
1/4 silicus Ο
1/72 1/6 sextula
1/144 1/12 dimidia sextula
1/288 1/24 scripulum

 

3. La monnaie romaine

Il ne s’agit ici que de la monnaie au sens restreint, c’est-à-dire des pièces métalliques frappées. À l’origine, les Romains n’avaient pas d’espèces monétaires : ils n’utilisaient que des évaluations en bestiaux (pecunia) ou du bronze pesé. Mais aux époques républicaine et impériale, on utilise les monnaies suivantes, présentées de manière simplifiée :

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Avers d’As de Claude, 42 après J.C.
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Revers d’As de Claude, 42 après J.C.

As : l’as libralis, qui pèse une livre romaine, est la première monnaie de bronze frappée par Rome au dernier tiers du IVe ou au tout début du IIIe siècle. Entre le IIIe et le IIe siècle avant notre ère, son poids est réduit d’une livre à un douzième de livre. On l’appelle alors l’as oncial. L’as se divise en semis (1/2), triens (1/3), quadrans (1/4).

 

 

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Avers de Dupondius d’Auguste, frappé sous Tibère.
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Revers de Dupondius d’Auguste, frappé sous Tibère.

Dupondius : le dupondius est une monnaie de bronze qui vaut deux as.

 

 

 

 

 

 

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Avers de Sesterce d’Auguste, frappé sous Tibère.
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Revers de Sesterce d’Auguste, frappé sous Tibère.

Sesterce : valant à l’origine 2,5 as et abrégé HS (pour II S(emis)), le sesterce est une monnaie d’argent sous la République et de bronze sous l’Empire. À partir du IIe siècle avant J.C., le sesterce vaut 4 as.

 

 

 

 

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Avers de Denier de Papia, 79 avant J.C.
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Revers de Denier de Papia, 79 avant J.C.

Denier : le denier est une monnaie d’argent qui vaut 4 sesterces, donc 10 as puis 16 à partir du IIe siècle avant J.C.

 

 

 

 

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Aureus frappé sous Vespasien (69-79 ap. J.-C.).

Aureus : l’aureus est une monnaie d’or valant 25 deniers, donc 100 sesterces. La première frappe d’aurei a lieu pendant la deuxième guerre punique. Après une période d’interruption, elle reprend sous Sylla, au premier siècle avant notre ère.

 

 

 

Pour donner une échelle de grandeur, le salaire moyen d’un ouvrier au Ier siècle après J.C. est de 2,5 à 4 sesterces par jour.

 

 Le calcul

1. L’apprentissage

C’est entre sept et douze ans que l’enfant romain apprend les rudiments du calcul : le vocabulaire de la numération et les opérations élémentaires. L’enseignement, calqué sur le modèle grec, est dispensé non par le magister ludi (le « maître d’école ») mais par un calculator.
Il s’agit d’abord d’apprendre à compter, c’est-à-dire de retenir la liste des nombres, cardinaux et ordinaux, tant par leur nom que par leur symbole. Les élèves découvrent en même temps le « comput digital », une technique rigoureusement codifiée qui permet de symboliser au moyen des deux mains tous les nombres entiers de un à un million. Cette méthode est très différente de celle que nous connaissons aujourd’hui.

Les additions élémentaires sont ensuite effectuées à l’aide de petits jetons (les calculi) ou bien apprises par cœur grâce à des comptines : « Un et un font deux, deux et deux quatre, était pour moi une odieuse chanson » se souvient Saint Augustin (Confessions, I, 13, 22).

Le système compliqué des fractions duodécimales de l’unité semble particulièrement difficile à appliquer, comme en témoigne Horace dans l’Art Poétique (325-330) : « À Rome, les enfants apprennent, par de longs calculs, à diviser un as en cent parties. « Voyons, fils d’Albinus, de cinq onces, j’en retranche une, que reste-t-il ?... Tu hésites ?... - Un tiers d’as. - Allons, tu pourras administrer ton bien. J’ajoute une once. Qu’est-ce que j’obtiens ? - Un demi-as » ». Les opérations plus compliquées se font à l’aide de l’abaque, dont nous parlerons plus loin.

Par la suite, l’enseignement des mathématiques reste très limité et les élèves peu nombreux, même si les mathématiques font partie intégrante des artes liberales, de la formation digne d’un homme libre.

 

2. Techniques et procédés

L’écriture des nombres en chiffres romains ne facilite pas les calculs : les géomètres et les comptables ont donc besoin d’instruments qui les aident à calculer. À l’origine, ils utilisent le caillou (calculus) comme unité de calcul, puis des entailles ou des bâtonnets (qui donneront naissance aux symboles écrits des chiffres).

Reconstitution d’un abaque romain / Cabinet des Médailles, Paris
Reconstitution d’un abaque romain / Cabinet des Médailles, Paris

À l’époque républicaine cependant, les Romains utilisent un abaque compteur : il s’agit d’une table, divisée en colonnes dont chacune représente une puissance de dix, dans l’ordre décroissant de gauche à droite. D’autres colonnes viennent parfois s’ajouter pour représenter les fractions. Il suffit alors de placer autant de galets ou de jetons que l’on désire dans les différentes colonnes (un jeton correspondant à une unité dans le rang où il est placé) pour représenter le nombre voulu, puis d’en ajouter ou d’en retirer en fonction de l’addition ou de la soustraction à effectuer. La multiplication, quant à elle, est conçue comme une addition plusieurs fois renouvelée du nombre de départ. Le calcul sur l’abaque est une procédure longue et complexe ; en outre, les calculs sont effacés au fur et à mesure : toute erreur potentielle est ainsi impossible à retrouver.

Jusqu’au premier siècle avant notre ère, l’abaque est un meuble. Une version plus réduite, et donc transportable, voit alors le jour : une plaquette métallique creusée de rainures dans lesquelles coulissent de petits jetons.

 

 Orientations bibliographiques

  • LAMBOLEY Jean-Luc, Lexique d’histoire et de civilisation romaine, Paris, Ellipses, 1995
  • MARROU Henri-Irénée, Histoire de l’éducation dans l’Antiquité, Paris, Seuil, 1948

 


Maud Marchand
(ENS 1ère année, 2006)